Brown運動在金融市場的應用

日期：2023-01-30 13:47:33 來源：互聯網

英國植物學家Brown(1827年)在觀察中發現，懸浮在液體中的花粉小顆粒的運動是非常不規則的,這種運動后來稱為Brown運動.自Brown運動發現以來,這個過程在數理統計、量子力學、生物學以及經濟和金融領域得到了大量研究.Einstein(1905年)應用物理原理證明了Brown運動滿足的微分方程. Wiener(1918年)在他的博士論文及以后的一系列論文中得到了Brown運動精確的數學公式。

設X(l)表示一個作Brown運動的粒子在時刻l的位置. Xo為粒子在時刻to的位置,即X(to)= Xo, f(X, t| Xo)表示在給定X(to)= X。的條件下X(t十to)的條件概率密度,這也是在給定初始條件下，Brown粒子擴散運動的反映.我們再假設所給的.轉移概率是平穩的,即f(X, t| Xo)不依賴于起始時刻1,因為f(X, l | Xo) 是X的密度函數,故

f(X,t| Xo)≥0，f(X,t| Xo)dX= 1.

當間隔[ro,to+t]充分小時,由于Brown粒子的運動速度總是有限的，X(t+to)與X非常接近,即limf(X, t| Xo)=0, X≠Xo.Einstein證明了f(X, t|X,)必定滿足偏分方程:

其中D是常數,稱為擴散系數.選取D= 1/2,我們可以驗證滿足上述方程的解為

即X的條件分布正好服從均值為Xo.標準差為F的正態分布。

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